Estadistica I: 2013

Distribución Hipergeométrica.

En estadística, la distribución hipergeométrica es una de las distribuciones de probabilidad discreta. Esta distribución se utiliza para calcular la probabilidad de una selección aleatoria de un objeto sin repetición. Aquí, el tamaño de la población es el número total de objetos en el experimento.

La distribución Binomial se generó al estudiar el comportamiento de repetir n veces un experimento de Bernoulli, en el cual hay dos resultados posibles, las repeticiones son independientes y la probabilidad asociada a cada repetición permanece constante. Para cumplir la última característica, es indispensable que cuando hay extracción de elementos se debe realizar con reemplazo, esto es, regresar el elemento extraído antes de realizar la siguiente extracción.

En el caso de la distribución Hipergeométrica, a diferencia de la distribución Binomial, los elementos se extraen simultáneamente, o si es uno a uno, sin devolverlos antes de realizar la siguiente extracción, de forma que un elemento no puede aparecer dos veces en una muestra. A esta manera de obtener la muestra se le llama muestreo sin reemplazo.

De esta forma, la probabilidad del segundo elemento depende o estácondicionada al elemento que se haya sacado en la primera extracción o sea que existe dependencia. Este concepto también se aplica en la extracción del tercero, cuarto y demás elementos, dependiendo del tamaño de la muestra, donde la probabilidad depende de los elementos obtenidos en las extracciones anteriores. Obsérvese que el muestreo sin reemplazo origina la dependencia probabilística, a diferencia del modelo binomial que no la tiene.

Para efectos de esta distribución, llamemos población al conjunto de elementos disponibles para realizar un experimento y muestra a un subconjunto de dichos elementos seleccionados en forma aleatoria.

La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial.

Modeliza , de hecho, situaciones en las que se repite un número determinado de veces una prueba dicotómica de manera que con cada sucesivo resultado se ve alterada la probabilidad de obtener en la siguiente prueba uno u otro resultado. Es una distribución .fundamental en el estudio de muestras pequeñas de poblaciones .pequeñas y en el cálculo de probabilidades de, juegos de azar y tiene grandes aplicaciones en el control de calidad en otros procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situación de partida.

La distribución hipergeométrica puede derivarse de un proceso experimental puro o de Bernouilli con las siguientes características:

· El proceso consta de n pruebas, separadas o separables de entre un conjunto de N pruebas posibles.

· Cada una de las pruebas puede dar únicamente dos resultados mutuamente excluyentes: A y no A.

· En la primera prueba las probabilidades son: P(A)= p y P(A)= q ;con p+q=l.

Características:

a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan más de dos tipos de resultados.

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados no son constantes.

c) Los ensayos o repeticiones del experimento no son independientes entre sí.

d) El número de repeticiones del experimento n, es constante.

Función de Probabilidad

Supongamos que se tiene una población finita de tamaño N, en donde los elementos sólo tienen dos características, digamos éxito y fracaso, hombres y mujeres, aprobados y reprobados, buenos y malos, empleados y desempleados, enfermos y sanos, etc. Esto significa que de acuerdo a las características, la población se puede dividir en dos subconjuntos disjuntos: los que cumplen y los que no cumplen con la característica estudiada. Supongamos también que en esta población existen a elementos de cierta característica que nos interesa analizar, por lo que N – a elementos no la tienen.

Distribución hipergeométrica en la industria.

La distribución hipergeométrica suele aparecer en procesos muéstrales sin reemplazo, en los que se investiga la presencia o ausencia de cierta característica. Piénsese, por ejemplo, en un procedimiento de control de calidad en una empresa farmacéutica, durante el cual se extraen muestras de las cápsulas fabricadas y se someten a análisis para determinar su composición.

Durante las pruebas, las cápsulas son destruidas y no pueden ser devueltas al lote del que provienen. En esta situación, la variable que cuenta el número de cápsulas que no cumplen los criterios de calidad establecidos sigue una distribución hipergeométrica. Por tanto, esta distribución es la equivalente a la binomial, pero cuando el muestreo se hace sin reemplazo.

Esta distribución se puede ilustrar del modo siguiente: se tiene una población finita con N elementos, de los cuales R tienen una determinada característica que se llama “éxito” (diabetes, obesidad, hábito de fumar, etc.). El número de “éxitos” en una muestra aleatoria de tamaño n, extraída sin reemplazo de la población, es una variable aleatoria con distribución hipergeométrica de parámetros N, R y n.

Cuando el tamaño de la población es grande, los muestreos con y sin reemplazo sonequivalentes, por lo que la distribución hipergeométrica se aproxima en tal caso a la binomial.

La distribución hipergeométrica sigue el siguiente modelo: